Олеся Поцелуева Профессионал

Почему на ноль делить нельзя?

Почему небо голубое? Почему коровы не летают? Откуда дети берутся? Почему снег тает? Почему кошки мяукают? Почему сыр «дырявый»?..

Каких только вопросов не задают наши детки!.. А вот вопрос «Почему на ноль делить нельзя?» не задают. Почему? Потому что еще в школе учительница сказала, что НЕЛЬЗЯ. Нельзя, значит, нельзя! Много позже, уже в институтах, мы узнали, что делить оказывается все-таки можно, и получится в результате — бесконечность. Но, признайтесь, наш ум принял этот факт как некое допущение, условность, мы ведь с детства помним — нельзя. А, собственно, почему все-таки?

Для начала давайте разберемся, откуда появляется бесконечность, к понятию которой на первых курсах университета мы отнеслись с некоторой долей недоверия. Все удивительно просто: если какое-нибудь число делить на все меньшее и меньшее, то будет получаться все большее и большее значение. Чем меньше будет делитель, тем больше станет частное. Так появляется бесконечность.

Но физики и математики не любят бесконечности, потому условно принято, что на ноль делить нельзя. Получается, что допущением является невозможность делить на ноль.

Обратимся к азам математики. В арифметике существует четыре действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Но равноправия у них нет. Математики считают основными действиями только два из них: сложение и умножение, остальные — обратные действия, следствия основных.

Рассмотрим понятие «вычитание». Для решения примера «5 — 3 = …» надо из пяти предметов убрать три, оставшееся при этом количество и будет ответом на наш пример. Но, учитывая, что основным действием считается сложение, давайте несколько изменим наш пример, записав его в виде сложения: «х + 3 = 5». То есть к какому числу надо прибавить три, чтобы получилось пять?

Так же дела обстоят с делением. Выражение «8: 4 = …» вытекает из выражения «4 • x = 8». Сколько раз по четыре надо взять, чтобы получилось восемь?

И вот он, ответ! Если 5: 0 — это вариант записи 0 • x = 5, то получается, надо найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Сколько раз по нулю надо взять, чтобы получилось что-то большее, чем ничего?! Но при умножении на 0 всегда получается 0, этот факт лежит в самом определении нуля! Числа, которое при умножении на 0 дает что-то отличное от ноля, не существует. Получается, задача не имеет решения, а выражение 5: 0 не имеет смысла. Чтобы уменьшить количество бессмысленных задач, было принято, что на ноль делить нельзя.

Самые дотошные читатели непременно спросят: а как же с делением нуля на ноль?

Давайте разберемся. Получается, уравнение 0 • x = 0 имеет решение? Или бесконечное число решений? «Х» может быть равен и единице, и двум, и миллиону. Так, при х=0, получается 0 • 0 = 0, тогда 0: 0=0? А при х=1, 0 • 1 =0, значит, 0: 0 = 1?! Или 0: 0 = 1000000?!

Выходит, мы не можем найти решения выражения «0: 0», значит, и у этого выражения нет решения. Получается, ноль на ноль тоже делить нельзя.

Вот к таким интересным умозаключениям можно прийти, задумавшись над известным с начальных классов фактом: на ноль делить нельзя.

Заинтересовало? Дочитали до конца? Значит, именно из-за таких как вы и появился следующий жизненный анекдот.

 — Почему нельзя делить на ноль? Умножать же можно, причем тоже ноль получается.

 — Почему нельзя? Можно, только результат такого деления — бесконечность

 — А почему не ноль?

 — Ну вот, смотри: 2*0 — это два взять ноль раз, будет ноль. А 2/0 — это «сколько раз ноль умещается в двойке», бесконечность.

 — Если 2/0=х, то значит 2=х*0, то есть 2=0. А если 2=0, значит 2/0=0!

 — Ну вот, чтобы такой ерундой не заниматься, математики и приняли негласное соглашение: на ноль делить нельзя!

Обновлено 6.05.2009
Статья размещена на сайте 1.03.2009

Комментарии (42):

Чтобы оставить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Войти через социальные сети:

  • андрей макурин Читатель 25 августа 2012 в 23:08 отредактирован 27 мая 2018 в 15:30

    Мне понятно, что число можно превратить в ноль, если из него вычесть его копию. Но можно ли разделить число так, чтобы получился ноль?

  • Оценка статьи: 5

  • Анатолий Григорьев [08.05.2009 - 17:36] #

    Со стороны:
    Из научного фольклора:
    "Необходимость делить на ноль выглядит катастрофой в глазах математика и даже может вызвать лёгкое смущение у физика-теоретика".
    Анатолий Григорьев [08.05.2009 - 17:36] #

    Из медицинского фольклора:
    Необходимость делить на ноль выглядит катастрофой в реальной сексуальной жизни мужчин, но постоянно присутствует в байках мужского междусобойчика.

    Оценка статьи: 5

  • Олеся Поцелуева, Ну и завели публику , вполне очевидным фактом, надо будет дать ссылку на эту статью с коментариями как пример того, что интеллигенция может запутаться в очевидных простых вещах и заставить друг друга усомниться в истине, словом "горе от ума"

    Оценка статьи: 5

    • Елена Граб, Неправда Ваша, милая дама. Этот факт далеко не "вполне очевидный", а скорее не вполне поддавшийся изучению. Это как параллельные прямые. Все кажется просто и ясно... Но только в геометрии Евклида (на плоскости). Уже в сферической геометрии картина меняется: скажем, если разместиться на земном экваторе, то меридианы вполне параллельны, а в действительности они все сходятся на полюсах. А в геометрии Лобачевского... Впрочем не будем о грустном
      Так что "интеллигенция может запутаться в очевидных простых вещах и заставить друг друга усомниться в истине" - это в другой раз.

      Оценка статьи: 5

      • Валерий Сатокин, скажите на милость зачем аксиомы из геометрии Евклида применять в сферической геометрии?
        каша хороша только в кастрюле

        Оценка статьи: 5

        • Елена Граб, Да н-е-е-е... Это я вот к чему: не всегда, то что нам кажется очевидным, таковым и является.
          Или, проще говоря, не всё то, что нам кажется действительностью, действительностью и является, и не всё то, что есть действительность, и нам действительностью представляется.

          Оценка статьи: 5

          • Валерий Сатокин, согласна с вами : "Вещи не такие, какими нам кажутся" об этом даже существует притча о двух ангелах, попросившихся к смертным переночевать но для порядка люди должны быть последовательны

            Оценка статьи: 5

  • Из научного фольклора:
    Необходимость делить на ноль выглядит катастрофой в глазах математика и даже может вызвать лёгкое смущение у физика-теоретика.

    • Марианна Власова Марианна Власова Бывший главный редактор 8 мая 2009 в 19:36

      Анатолий Григорьев, слово "математика" нужно заменить на "инженера" или "программиста". Математик начинает долго рассуждать, можно или нельзя сказать, что на ноль делить нельзя...

  • Олеся Поцелуева,

    Но физики и математики не любят бесконечности, потому условно принято, что на ноль делить нельзя.


    Категорически не согласен! Уж кто любит бесконечности, так это физики и математики! Это они это понятие и ввели, это они им и пользуются. Может слыхали краешком уха про кардинальные числа, про порядок малости и т.п.?

    На ноль делить нельзя, даже после прослушивания курса высшей математики! И не потому, что это "условно принято", а потому, что в нуле операция деления не определена, как вы же потом сами и показывете!

    Можно рассматривать предел последовательности отношения конечной величины к убывающей, а это НЕ есть деление на 0. Этот предел не обязательно бесконечность! Это может быть и неопределённость, как, например, предел последовательности (-1)^(1/x)/x при x ->+0 Эта величина - бесконечно возрастает по модулю, но её знак меняется с каждым новым значением x, причём при нецелых значениях 1/х она уходит в комплексную область!

    А пределы отношений двух убывающих величин - это вообще целый раздел высшей матанализа - теория пределов. Для величин одного порядка малости это предел конечен и равен конкретному значению. Если порядок малости числителя меньше, чем порядок малости знаменателя, то этот предел равен 0 (например x^2/sin(x) при х ->0), а в противном случае - см. предыдущий абзац.

  • Спасибо всем за комментарии и приятные отзывы! надо признаться, боялась, что не оценят и "закидают" математическими терминами! ан, нет! спасибо за улыбки!

    Оценка статьи: 5

  • Олеся Поцелуева, с интересом прочитал статью и комментарии к ней. В общем сделал вывод - у нас народ любит поспорить. Я племяннику , когда ему было 7 лет объяснил просто - 10 яблок разделить между 2 мальчиками будет по пять. а если делить не на кого значит невозможно. Он понял. Сейчас ему 13 и он по математике на 5 учиться.

  • Олеся Поцелуева,
    Славная статья.
    Наблюдение:
    ни ода бухгалтерия при начислении премии или зарплаты не делит на 0, а только на него умножает. Калькуляторы у них такие, что ли?

    Оценка статьи: 5

  • Олеся, 5!!! Прочитала с большим удовольствием. Удачи!

    Оценка статьи: 5

  • Олеся Поцелуева, не каждый учитель математики может так доходчиво объяснить детям, спасибо, учтем для своих.

    Оценка статьи: 5

  • Олеся, спасибо за интересную статью.
    Иногда полезно отвлечься от "практических" дел и подумать над вот такой абстрактной философией.
    Просто отдохнуть.

  • Доля шутки

    Олеся Поцелуева, Спасибо за интересный экскурс. Шутка шуткой, но хочу заметить, что видимо Вы всё-таки учились в Вузе, где изучают курс под названием "Высшая математика". Насколько мне помнится, при делении на ноль получается не бесконечность, а другое ёмкое математическое понятие - неопределённость. Эта хитрая штуковина имеет место быть ещё в нескольких случаях. Если решусь порыться - напишу
    Удачи.

    Оценка статьи: 5

    • Марианна Власова Марианна Власова Бывший главный редактор 6 мая 2009 в 13:34

      Валерий Сатокин, неопределенность получается при делении нуля на ноль. При делении не нуля на ноль - бесконечность.

      • Неправда ваша, Марианна. Делить на ноль на самом деле нельзя. Ни ноль, ни "неноль". Хотел объяснить немного про пределы, но потом прочел дальше, Виктор Губерниев это уже сделал, почитайте.
        ЗЫ: Может быть, вы спутали неопределенность при делении нуля на ноль, с "делением" при раскрытии неопределенности предела по правилу Лопиталя?

        • Марианна Власова Марианна Власова Бывший главный редактор 7 мая 2009 в 21:26

          Андрей Лебедкин, в школе детям вбивают в голову "делить на ноль нельзя", а потом эти дети приходят в институт, где совершенно спокойно "делят на ноль", то есть не приходят в ужас от нуля в знаменателе дроби. Поскольку я училась в физматшколе, нам и в школе не "запрещали" на ноль делить, а сразу вводили понятия "определено на множестве", "бесконечно малая величина", предел слева, предел справа... А вот те, кто после школы пошел в инженеры, на ноль не делят категорически, у них от этого КЗ случается.

          • Понятно, в общих чертах. Но, все-таки: 1) нельзя писать, что "При делении не нуля на ноль - бесконечность."; 2) деление на ноль "на множестве" тоже не определишь.

            • Марианна Власова Марианна Власова Бывший главный редактор 8 мая 2009 в 19:40

              Андрей Лебедкин, это "можно" или "нельзя" лежит исключительно в области употребления слов. Некоторым людям сложно представить n-мерный куб (ведь раз куб - то это фигура такая с шестью гранями).

      • Марианна Власова, Виноват, слегка поторопился про ноль на ноль принимается. Но вот бесконечность получается только при делении натурального числа на ноль. В других случаях смотря что мы соберемся попытаться разделить. Скажем если в числителе окажется бесконечность или еще что-либо...
        Большое спасибо.

        Оценка статьи: 5

        • Марианна Власова Марианна Власова Бывший главный редактор 6 мая 2009 в 17:39

          Валерий Сатокин, ноль в знаменателе лишает числитель всякого значения. Если имеется в виду бесконечно малая - важен знак - плюс бесконечность или минус. Натуральность числителя физически означает только то, что при нуле в знаменателе это "количество" останется неделимым - ответа нет.

          • Марианна Власова, "ноль в знаменателе лишает числитель всякого значения" это утверждение безусловно верно для традиционной математики. Я, собственно, имел ввиду, что в различных новейших направлениях (возьмите хоть Топологию, только не как часть геометрии), возможны самые различные варианты. А некоторые продвинутые особи, в частности мой сын (30 лет от роду) вообще утверждают: в результате деления нолика на нолик может получаться что угодно в зависимости от системы в которой это происходит. Неопределённость здесь принимается всего лишь как частный случай. Но это уже полные дебри я в них не силен.
            Спасибо.

            Оценка статьи: 5

    • Валерий, "хочу заметить, что видимо Вы всё-таки учились в Вузе" - то ли обрадоваться, то ли обидеться?))) вообще да, если "докопаться" - бесконечность получается при делении на число, стремящееся к нулю. делим на бесконечно малое, получаем бесконечно большое. спасибо!

      Оценка статьи: 5

      • Олеся Поцелуева, Вы не на ту часть фразы обратили внимание
        Я не в Вас метил. Я имел ввиду, что в довольно общем курсе "Высшая математика" не рассматриваются все возможные операции в части деления на ноль. Скажем в "Матанализе" - это одно, а в "Топологии" - это другое.
        Ещё раз спасибо за статью.

        Оценка статьи: 5

  • Ничего не поняла, но чтобы виду не подать, ставлю 5+!

    Оценка статьи: 5

  • Блондинка?

    Оценка статьи: 5

  • хммм, думала, название условное, а речь - о чем-то более поэтичном))) Оказалось, прозаично, но интересно!

  • Андрей Рамин Читатель 23 марта 2009 в 01:08 отредактирован 22 мая 2018 в 18:25
    Деление на ноль возможно

    Делить на ноль можно только ноль.

    Задача: 0*х=0. Чему равно 0:0?
    Ответ: 0:0=х, где х - любое число.

    Вывод: Уравнения 0*х=0, 0:х=0 и 0:0=x – это одно и то же уравнение, записанное разными способами, оно имеет бесконечное множество решений.

    Кто-то может сказать, что если 0:0=5 и 0:0=6, то значит 5=6? Нет не значит. Никому не приходит в голову утверждать, что если х = корень_квадратный_из_4, то х = 2 и х = -2, значит 2 = -2.

    Кому интересно, подробнее об этом http://www.proza.ru/2008/08/02/228