Сергей Курий Грандмастер

Почему европейцы долгое время не любили нуль?

«О вы, нули мои и нолики,
Я вас любил, я вас люблю!
Скорей лечитесь, меланхолики,
Прикосновением к нулю!

…Когда умру, то не кладите,
Не покупайте мне венок,
А лучше нолик положите
На мой печальный бугорок".
(Н. Олейников)

В предыдущей статье я уже писал, как тяжело усваивалось европейскими математиками понятие «Нуля». Как мне кажется тому были свои — мировоззренческие — причины.

Космос в учениях древнегреческих философов был материален, а мироздание — предметно. Для античного разума появление мира из ничего было непредставимым. Мироздание могло родиться из неупорядоченного Хаоса, воды, огня, апейронов и прочих первоэлементов — из чего угодно, но только не из пустоты. Недаром числовой основой мироздания Пифагор считал единицу, и все остальные числа возникали уже из нее. Небытие, бессущность, как и понятие числа, ничего не исчисляющего, были для греков одинаково абсурдны. Об этом красноречиво свидетельствуют и два знаменитых античных принципа — Natura abhorret vacuum («Природа не терпит пустоты») и Ex nihilo nihil («Из ничего ничто не появится»). Даже для Демокрита, оперирующего понятием пустоты, эта пустота была лишь условием для пространственного существования и движения атомов — всё тех же изначальных, вечных, неделимых и качественно неизменных первоэлементов.

Ну, а если тому же Клавдию Птолемею приходилось пользоваться позиционной системой и обозначать отсутствие разряда знаком, то этот знак ни в коем случае не воспринимался числом, он был просто заменой слову «ничего». И подобное отношение европейских ученых к нулю продержалось еще несколько веков. Фибоначчи явно отказывает нулю в равноценности другим цифрам. А Рене Декарт, много сделавший для окончательной «легализации» нуля, сам считал его числом «ложным», «ненастоящим» (туда же он относил и отрицательные числа). Мол, для математических операций оно необходимо, но всерьез к нему относиться не стоит. Во многих словарях «нуль» как число до сих пор характеризуют только через арифметические операции.

«Советский энциклопедический словарь», 1980 г.:
«Число 0 от прибавления (или вычитания) которого к любому числу последнее не меняется».

Для нас этот знак так и остался ничтожным «ноликом», который становится «могучим нулем» только в сочетании с другими «настоящими» числами. Недаром такие выражения, как «Полный ноль», «Нуль без палочки», характеризуют ничтожного человека, а глагол «аннулировать» свидетельствует о полном уничтожении чего-либо.

Иное дело — восточное сознание. Индуистов и буддистов Пустота не пугала. Мало того — только бессущное, безвещественное, непредставимое и считалось настоящим, истинным в противовес «покрову Майи» — тому иллюзорному непрочному меняющемуся миру, который нас окружает. У античного мировосприятия не было ничего похожего на буддистскую Нирвану или китайское Дао — понятия по определению не поддающиеся описанию.

(Рис.: С. Курий) Поэтому представление о нуле как о ЧИСЛЕ опять-таки возникло в Индии. Там же впервые попытались описать математические действия с нулем. Сложение и вычитание дались индийцам просто. Справились они и с умножением, определив, что умножая число на нуль, мы получаем тот же нуль. И действительно — умножить число на ноль, это взять это число ноль раз, то есть, не брать вообще, а следовательно и результат будет нулевой.

Настоящие проблемы возникли с делением на нуль. С детства мы заучили, что делить на нуль нельзя, но мало кто помнит, почему нельзя. Индийские математики делить на нуль отчаянно пытались. Так Брахмагупта (VII в.) писал, что «нуль на нуль есть нуль», а про число, деленное на нуль, пишет очень осторожно — «Положительное или отрицательное число, деленное на нуль, есть дробь с нулем в знаменателе». Более смелую попытку осознать деление на нуль сделал Бхаскара.

Бхаскара, «Сиддханта-сиромани» («Венец науки») ок. 1150 г:
«Величина, деленная на ноль, становится дробью с нулем в знаменателе. Эта дробь называется бесконечной величиной. Эта величина состоит из величины, имеющей ноль в качестве делителя, она постоянна, несмотря на то, что к ней можно многое добавить и многое из нее извлечь, так же как бесконечен и неизменен Бог даже тогда, когда создаются или прекращают существовать целые миры и множество существ поглощается либо «извергается».

Логика индийского математика понятна — при уменьшении знаменателя дробь автоматически возрастает, а значит, если знаменатель становится ничем, то результат поневоле должен обернуться бесконечностью. Непредставимое отсутствие обращается таким же непредставимым нескончаемым присутствием. Нуль здесь как бы выступает антагонистом Бесконечности и Вечности.

Уже одного этого достаточно, чтобы европейские математики возненавидели деление на нуль и отреклись от него. Конечно, и они оперируют понятием бесконечности, например, признают бесконечность числового ряда и стремление к бесконечности (вспомним графики, которые постоянно приближаются к осям координат, но никогда с ними не пересекаются). Однако и в этих случаях математики имеют дело с ОПРЕДЕЛЕННЫМИ числами. Чистая же бесконечность невыразима численно, и арифметические операции с ней просто лишены смысла. «Идите вы… к философам!» — как бы говорят математики.

К.Ф. Гаусс, 1831:
«Я возражаю против использования бесконечных величин как чего-то завершенного, это не допустимо в математике. Бесконечность — это всего лишь речевой оборот, реальное значение которого — предел, к которому неограниченно приближаются определенные отношения, в то время как другим позволено бесконечно увеличиваться».

(Рис.: С. Курий) Запрет деления на нуль математики объясняют вполне логично. Пусть m:0 = n. Тогда должно выполняться и обратное действие — n·0 = m. Но ведь мы знаем, что умножение на нуль всегда дает нуль, следовательно, предыдущий результат был ошибочен. Хорошо, скажете вы, но ведь нуль на нуль делить-то можно. Действительно, кажется, что выражение 0:0=0 истинно, ведь истинно и обратное действие — 0·0 = 0. Однако не будем спешить с выводами. Возьмем не менее истинное выражение 4·0 = 0 и произведем обратное действие. Получается, что 0:0 = 4! А почему не пять, не тридцать, не сто двадцать три? Ведь любое число, умноженное на ноль, даст ноль. Следовательно, ноль, деленный на ноль, тоже должен дать ЛЮБОЕ число, что сводит на нет саму суть чисел. Множество хитрых математических лжедоказательств, вроде того, что «дважды два — пять», содержат в своих действиях закамуфлированное деление на нуль. Всё это безобразие и привело к тому, что математики запретили деление на нуль. Ведь отказаться от самого нуля они уже не могли…

Настоящий путь к равноправию нуль начал после появления в математике отрицательных чисел. Думаю, теперь вы не сильно удивитесь тому, что это открытие сделали всё те же индусы. На этот раз большую роль сыграла житейская практика, а не отвлеченное мышление. Недаром отрицательные числа индийцы называли «долгами», предвосхищая бухгалтерский учет и распространенное выражение «пойти в минус», то есть, понести убытки вместо прибыли. Границей между прибылью и убытками стал «нулевой баланс», где затраты и прибыль взаимно погашают друг друга.

Нулевой меридиан в Гринвиче (маркировка на полу и на здании). Именно от него отсчитывают долготу. Так нуль, ранее только заполнявший пустые разряды, начал «карьеру» разделительного барьера между разнокачественными числами. В XVII веке Декарт вводит в обиход математики свою систему координат (видимо, не без влияния географической сетки, изобретенной еще древними греками). Вместе с ней нуль обрел графический зрительный образ, став точкой пересечения осей абсцисс и ординат — точкой, в которой исчезали как количественные, так и качественные характеристики чисел.

А. Степанов в своей работе «Число и культура» считает, что и здесь проявился европейский рационализм по отношению к нулю. Он пишет: «Нуль — такая же „точка“, как и остальные числа. Геометрия предполагает сенсорную зримость, наглядность, и о каком же „настоящем“ отсутствии тогда может идти речь? Европейцы с самого начала „материализовали“ нуль. Кроме того, арифметика и геометрия вообще принципиально различны».

Самый известный разделительный нуль — это конечно нуль шкалы термометра. Сначала положение нуля было определено самой минимальной температурой, которую ученый Фаренгейт смог получить в своей лаборатории (это была температура смеси соли и льда). Нам же более знакома температурная шкала Цельсия, в которой нуль градусов — это температура плавления льда. Для живого организма, состоящего в основном из воды, и живущего в окружении воды, эта система отсчета оказалась наиболее удобной. Выражения «ниже нуля» и «выше нуля» дают достаточно реальное представление о погоде за окном. Однако для ученых Кельвин разработал абсолютную температурную шкалу, где никакого «ниже нуля» нет. Здесь нуль назван абсолютным и составляет минус 273 градуса по Цельсию. При такой температуре должно полностью прекратиться всяческое движение атомов и молекул. «Должно» — сказано не случайно, ибо (если законы термодинамики правы) считается, что в реальности абсолютный нуль недостижим. Объясняется это тем, что чем ближе система подходит к абсолютному нулю, тем больше работы нужно затратить на ее дальнейшее охлаждение.

Две температурных шкалы: Кельвина и Цельсия. После введения координат нуль утвердился в массовом сознании как исходная точка. Сегодня никого не удивляет выражение «начать с нуля» или время 00:00. А вот древние греки никогда бы не произнесли «ноль часов». Полночь для них была бы двадцать четвертым часом, после чего начался бы отсчет часа первого — и никаких там нулей. Подобный счет во многом не лишен смысла, ведь нередко привычка относиться к нулю как к точке отсчета, приводит к несуразностям. Взять хотя бы памятное празднование так называемого «миллениума». Начало нового тысячелетия народы мира дружно отпраздновали 1 января 2000 года, искусившись красивой круглой датой. Хотя не надо быть ученым, чтобы понять, что двухтысячный год — не первый, а последний год тысячелетия.

Тем не менее, «время номер ноль» в современной науке выглядит не таким уж абсурдом. Именно нулевой точкой отсчета времени принято считать момент Большого взрыва — момент образования Вселенной. О том, что было до этого, ученые предпочитают не рассуждать — с этим бы разобраться!

Так что нуль, при всем удобстве его использования, до сих пор остается самым загадочным числом, более того — знаком и символом, выходящим за рамки математики в область чистой философии, где господствуют такие же таинственные понятия, как Вечность и Бесконечность. Благодаря нулю, люди смогли оперировать с тем, что они не могут представить. А разве это не чудо?

Обновлено 9.09.2010
Статья размещена на сайте 14.08.2010

Комментарии (9):

Чтобы оставить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Войти через социальные сети:

  • Сергей Курий,математики давно придумали, как делить на ноль. Ответ даёт теория пределов.

    • Виктор Губерниев, я бы сказал: смелое заявление! Насколько мне помнится теория пределов решает проблему данной неопределенности при помощи допущения отдельных определенностей. Окончательного строгого результата таки нет.

      Оценка статьи: 5

      • Валерий Сатокин, почему же нет? Ответ таков: если в числителе дроби величина большего порядка малости, чем в знаменателе, то предел равен нулю, если меньшего - бесконечности, если равного, конечному числу, которое можно вычислить. В частности, для полиномов - отношение коэффициентов при младших степенях бесконечно малой. Полиномиальное представление бесконечно малой можно получить при помощи разложения функций в ряд Тейлора вблизи аргумента нуля.

        • Виктор Губерниев, эк у Вас лихо получилось! Не вдаваясь в сугубо матемаматические выкладки, замечу, что теория пределов, безусловно, решает задачи раскрытия неоперделенностей. Собственно для этого она и была создана. Аналогично другим математическим аппаратам предназначенным для описания физических процессов. Но в этих случаях рассматривается не тождественное равенство нулю, а бесконечное к нему приближение. Это не одно и тоже соотносительно к теме статьи. Таких способов, когда благодаря предварительному допущению, решается поставленная задача, в математике великое множество. Например, решение дифференциальных уравнений зиждется на изначальном предположении: такое-то решение верно. Примерно так же разрешаются кубические уравнения для произвольных коэффициентов. Или вот, скажем, комплексные числа базируются на утверждении: корень квадратный из -1=i. Однако, в рамаках обсуждения популярной статьи использование всё большего количества специальных терминов не представляется возможным.
          Коротко говоря, теория пределов позволяет обойти проблему деления на ноль для целого ряда частных случаев, а не решает ее в принципе.

          Оценка статьи: 5

  • Н-дя! Точно, что без философии не сможет обойтись ни одна из наук! Вот и найдено число обозначающее единство и борьбу противоположностей. А это мне уже ближе как гуманитарию.

    Оценка статьи: 5

  • Валерий Сатокин Валерий Сатокин Мастер 6 сентября 2010 в 12:03 отредактирован 6 сентября 2010 в 12:03

    Сергей Курий, все очень привлекательно, но видно с математикой не слишком Вы дружны. Иначе бы не появилась фраза: "Чистая же бесконечность невыразима численно, и арифметические операции с ней просто лишены смысла. «Идите вы… к философам!» – как бы говорят математики". Собственно, Ваши рассуждения в основном строятся вокруг натурального ряда чисел и арифметических действий с ними. Для отрицательных, иррациональных и др. чисел их применение несколько меняется. Математики легко оперируют понятием "плюс-минус бесконечность". С делением на ноль, конечно, сложнее... Да! Хотел бы напомнить, что любая логика является частным случаем логики математической (символической, если угодно), а Вы всё философия, да философия.

    Оценка статьи: 5

    • любая логика является частным случаем логики математической

      Валерий Сатокин, тогда, по вашей логики, любое млекопитающее- это частный случай коровы, а любой раствор- частный случай воды, а любая публикация- часный случай телерепортажа

      • Владимир Иванович Пресняков, хм. Корова - частный случай млекопитающего, если угодно. А по логике, вывод (следствие) верен, если истиннны обе посылки, т. е., если хотя бы одна из посылок ложь (пусть и неявная), то и вывод однозначно будет ложным. Плюс к этому, всегда должен быть соблюден принцип взаимно-однозначного соответствия.

        Оценка статьи: 5