Как облегчить себе изучение математики? Советы преподавателя
С математикой у меня сложились долгие отношения. Сначала я ее учила — в спецматклассе, на семинарах и кружках; бесконечное число часов с отцом-математиком. Потом — в институте. Позже оказалась «по другую сторону баррикад» и 5 лет читала лекции в техническом вузе. Потом работала (и работаю) в институте, защитила кандидатскую. Частно преподавала.
За этом время у меня накопилось несколько возмущенных «Почему».
— Почему никто не делает вроде бы простых, «незатратных» действий, улучшающих понимание материала?
— Почему не меняется система преподавания, хотя и ошибки известны, и способы улучшения тоже?
1. ПОЧЕМУ — это Самый Главный Вопрос, который преподавателю почти никто не задаёт.
Рассмотрим, например, тему «Неопределённый интеграл». Для неё, как и для прочих областей, имеются некие «готовые» методы. Интеграл пишется на доске, вычисления приводятся пошагово, а вы (кажется) вникаете в детали. Но, вникая, понимаете ли, ПОЧЕМУ к интегралу применяется именно этот прием? Уверены, что самостоятельно определите, когда и какой метод применить? А ведь ради этого вы пришли на лекцию… Детали вычислений можно освоить самим, понять не до конца, забыть (!). Главный Вопрос — ПОЧЕМУ. Почему делается именно так, в каких случаях можно применять этот метод, а в каких его применение является ошибкой.
2. Несколько уровней понимания.
Есть несколько уровней понимания. Первый — «контурное» понимание, умение решать задачи под руководством преподавателя. Следующий уровень достигается, когда человек самостоятельно, без подсказок может изложить тему. Проверить себя несложно. Послушайте, прочитайте или вспомните материал, который вы понимаете. Попробуйте записать его, не подсматривая в учебник. Наверняка вы столкнетесь с множеством мелких неочевидных проблем. Только найдя ответы на возникшие вопросы, вы сможете записать разумный, верный текст. Этот труд окупится, и ваше понимание материала перейдёт на новый уровень.
3. Ясность в голове.
В точной науке математике нужно понимать, что вы делаете в каждый момент времени. О, сколько у меня было конфликтов со студентами на эту тему! К примеру, у каждого объекта есть определение. Понимаете определение? Значит, можете привести примеры объектов, ему удовлетворяющих и не удовлетворяющих. Давайте конкретнее: что такое функция? Это отображение одного множества в другое (удовлетворяющее некоторым условиям). Отображение! Не график, не набор точек, не множество, не кривулька, как мне пытались отвечать на экзаменах. Можете привести пример функции? А отображения, которое не является функцией?
За этом время у меня накопилось несколько возмущенных «Почему».
— Почему никто не делает вроде бы простых, «незатратных» действий, улучшающих понимание материала?
— Почему не меняется система преподавания, хотя и ошибки известны, и способы улучшения тоже?
1. ПОЧЕМУ — это Самый Главный Вопрос, который преподавателю почти никто не задаёт.
Рассмотрим, например, тему «Неопределённый интеграл». Для неё, как и для прочих областей, имеются некие «готовые» методы. Интеграл пишется на доске, вычисления приводятся пошагово, а вы (кажется) вникаете в детали. Но, вникая, понимаете ли, ПОЧЕМУ к интегралу применяется именно этот прием? Уверены, что самостоятельно определите, когда и какой метод применить? А ведь ради этого вы пришли на лекцию… Детали вычислений можно освоить самим, понять не до конца, забыть (!). Главный Вопрос — ПОЧЕМУ. Почему делается именно так, в каких случаях можно применять этот метод, а в каких его применение является ошибкой.
2. Несколько уровней понимания.
Есть несколько уровней понимания. Первый — «контурное» понимание, умение решать задачи под руководством преподавателя. Следующий уровень достигается, когда человек самостоятельно, без подсказок может изложить тему. Проверить себя несложно. Послушайте, прочитайте или вспомните материал, который вы понимаете. Попробуйте записать его, не подсматривая в учебник. Наверняка вы столкнетесь с множеством мелких неочевидных проблем. Только найдя ответы на возникшие вопросы, вы сможете записать разумный, верный текст. Этот труд окупится, и ваше понимание материала перейдёт на новый уровень.
3. Ясность в голове.
В точной науке математике нужно понимать, что вы делаете в каждый момент времени. О, сколько у меня было конфликтов со студентами на эту тему! К примеру, у каждого объекта есть определение. Понимаете определение? Значит, можете привести примеры объектов, ему удовлетворяющих и не удовлетворяющих. Давайте конкретнее: что такое функция? Это отображение одного множества в другое (удовлетворяющее некоторым условиям). Отображение! Не график, не набор точек, не множество, не кривулька, как мне пытались отвечать на экзаменах. Можете привести пример функции? А отображения, которое не является функцией?
Про объекты формулируются аксиомы — утверждения, верные по определению. А вот можно ли доказать аксиому («Доказано Zanussi»)? Ещё про объекты доказываются теоремы или свойства. (Непересекаемость параллельных прямых в школьной геометрии — это теорема или аксиома?)
Ещё один камень преткновения — необходимые и достаточные условия (Наличие в треугольнике двух углов по 45 градусов — это необходимое или достаточное условие его прямоугольности? А что если в треугольнике имеется две таких соседних стороны, что сумма квадратов их длин равна квадрату длины третьей стороны; какое это условие прямоугольности треугольника?) Таких терминов немного, но их нужно понимать очень четко. Тогда освоение нового материала заметно облегчается.
4. Мне ничего не понятно.
Главному Вопросу «ПОЧЕМУ» многие предпочитают стон-выдох «непонятно». Я имею заметный стаж частного преподавания. Мои студенты нередко, прослушав новый материал, говорят: «Непонятно!» «Что непонятно?» «Ничего не понятно!» Это — леность ума.
Прежде чем спросить, подумайте, что именно вам непонятно. Научитесь показывать своё «непонятно» пальцем. Иначе можно повторять объяснение вновь и вновь, а «непонятный» момент будет ускользать. Но есть и обратная сторона медали: если долго изучать предмет, некоторые вещи становятся столь очевидны, что преподавателю не приходит в голову их пояснять! А студенту они неясны, и тут умение «ткнуть пальцем» бывает неоценимо.
5. И последнее — учитесь математически грамотно говорить!
Это неоценимо при усвоении материала, сдаче экзаменови т. д. Если вашу речь записать, должен (в идеале) получаться математически правильный текст. Подумайте над следующими примерами (все эти фразы я слышала многократно):
— Таким образом, вектор равен числу…
— Что такое функция?
— Вот это (студент рисует график произвольной функции)
— Какую задачу решает алгоритм, который вы хотите мне рассказать?
— Он… производит изменения в пространстве!
— Почему из, А следует B?
— Так написано в ваших лекциях!
Единственный способ научиться говорить о сложном, который я знаю — это тренироваться. Рассказывать вслух ваши решения и новый материал человеку, который может оценить математическую грамотность. Чаще выходить к доске. Стараться обсуждать вопросы с преподавателем грамотно, а не надеясь на то, что он поймет, о чем идет речь. Если все это невозможно, то хотя бы подробно писать объяснения к решениям и конспекты лекций.
5. И последнее — учитесь математически грамотно говорить!
Это неоценимо при усвоении материала, сдаче экзаменов
— Таким образом, вектор равен числу…
— Что такое функция?
— Вот это (студент рисует график произвольной функции)
— Какую задачу решает алгоритм, который вы хотите мне рассказать?
— Он… производит изменения в пространстве!
— Почему из, А следует B?
— Так написано в ваших лекциях!
Единственный способ научиться говорить о сложном, который я знаю — это тренироваться. Рассказывать вслух ваши решения и новый материал человеку, который может оценить математическую грамотность. Чаще выходить к доске. Стараться обсуждать вопросы с преподавателем грамотно, а не надеясь на то, что он поймет, о чем идет речь. Если все это невозможно, то хотя бы подробно писать объяснения к решениям и конспекты лекций.
Статья опубликована в выпуске 2.11.2006
Обновлено 22.07.2020
Обновлено 22.07.2020
Математика в нашей семье была одним из первых предметов. С её помощью ваш ум не дряхлеет, не теряет здравости. Математикой абсолютно всё можно измерить, проверить. У всего есть свой числовой код - это творческая наука. Другой вопрос в том, что от преподавателей не всегда можно получить ответ на вопрос "почему" - пожимают плечами. Большинство просто выучило правила за годы института и далее не развиваются, объяснить не могут. В лучшем случае ответят "не знаю", в худшем - обозлятся на тебя "чего с вопросами пристаёшь". А в последнее время математику нещадно "кастрируют", готовят из детей послушное дебильное стадо. В довершение всего, чип в попу вставят и будет всему человечеству БЛАГО. А по чипу-то с помощью той же самой математики можно разные коды передавать: радость, уныние, болезни, смерть...
0 Ответить
Уважаемая Елена, в своей превосходнейшей статье Вы, к сожалению,
не осветили еще один, главнейший аспект изучения чего-либо - ЖЕЛАНИЯ
это нечто изучить. Если его нет, нужно убедить себя в необходимости
изучения, и лишь при условии его наличия можно ставить себе следующую
задачу - КАК организовать процесс и что прояснить в собственной голове,
чтобы оная математика стала изученной.
К сожалению, подавляющее большинство обучающихся
озабочены совершенно иными проблемами, например,
увлеченно гоняют балду на скушных лекциях
https://www.shkolazhizni.ru/culture/articles/2098/ и маловероятно, что Ваши советы будут ими востребованы.
С уважением,
Сергей В.
0 Ответить
Красиво сказано, но проблема гораздо глубже, чем кажется на первый взгляд.
Увы, но нет "госзаказа"! Кому и где нужен человек с хорошим знанием математики? (вопрос не для математиков?)
Зато сколько слышал: " да я в свое время математику не учил - и ничего, вон до каких высот...". Вы такого разве не слышали?
А до тех пор, пока не будет ясно ВСЕМ где и зачем она так нужна, эта самая математика, не ждите нужных мотиваций!...
0 Ответить
О! Создание мотивации к обучению - это отдельная и большая тема. Отсутствие мотивации - это результат неправильной методики обучения, психологического дискомфорта у ребят, недостаточногг воспитания в детстве. Вообщем, учителя тут также виноваты, как и дети. Я занимаюсь вопросаи мотивации в частном преподавании. Возможно, напишу об этом.
0 Ответить
Я полностью согласен с автором статьи. Преподаю математику уже 15 лет, и на каждом уроке убеждаюсь - ученики не могут точно воспроизвести определение, теорему, аксиому. А почему, потому, что нет желания вдуматься в каждое слово не говоря, о том, что любое понятие в математике рассматривается с ручкой и листом бумаги. Сначала разбираем теорию, а затем переходим к решению задач по этой теме. А часто происходит наоборот. Сработало контурное понимание, вспомнили, что делали в классе. Быстро подставили - получилось, не получилось - пошли дальше!
Еще один момент хочется осветить. У учащихся вообще начисто отсутствует метод аналогий. Если один-два человека в классе сумеет применить, те знания, которые излагал учитель, объясняя новый материал, то задача урока выполнена. Вот и получается, что математика очень "страшный" предмет. Только страшно не оттого, что ничего не понятно, а оттого, что никто не хочет ничего понимать!
0 Ответить
У моего ребенка первые четыре года обучение шло по Петерсон.
И мне очень понравился подход, обратный тому, о котором говорите Вы. Для тех, кто не знает: в теме урока вкратце разбирается теория и приводится пример задачки с решением. Следующее задание - аналогичная задача. Следующее - с небольшим усложнением, заставляющим ребенка задуматься, чего не хватало в теории. Теория продолжается как обоснование практики. Плюсы, на мой взгляд, - все происходит играючи, без заучивания непонятных слов, непонятно как связанных. Алгоритмы проходили во втором классе - вообще замечательно, вдохновенно описывали технологию приготовления салатика.
0 Ответить
Да-да. Формальная подстановка одних циферок в другие часто заменяет мышление. Но и школьная программа это поощряет иногда: получл правильный ответ - значит все хорошо. А как ты думал, как решал - никому не важно.
0 Ответить
Ой, тяжко, трудно преодолеть предубеждение. Многие вообще говорят "непонятно" еще ДО ТОГО, как что-то попытаются выучить. И все, конец.
1 Ответить
Недостаток мотивации. Или плохая схема мышления.
0 Ответить
То, что непересекаемость параллельных прямых доказывается, я не помнила с шестого класса и вспомнила только в этом году - с ребенком.
Мне всегда немного стыдно признаваться, что у меня в первом дипломе написано: квалификация - математик. Через 15 лет все знания выветриваются напрочь, зато интересно учить математике сына - по его же учебникам, но каждый раз предлагая подумать чуть больше, чем в них требуется.
А работая с медиками, убеждалась, что некоторые из них алгебру не воспринимают в принципе, и даже объяснить им, как построить график, очень сложно.
Да и среди представителей других специальностей тоже встречались люди, совершенно не способные к математике. Ну такие люди, что ж поделаешь. Они и профессии выбрали далекие от математики и не ждали, что она их все-таки настигнет.
0 Ответить
Здравствуйте! Внимательно прочитал и статью, и комментарии к этой статье. Наша школа уже шесть лет работает по образовательной программе "Школа-2100". Основной идеей работы в рамках этой программы, это идея "развивающего обучения". Раньше считалось, что учитель должен выполнять одну функцию - "вдалбливать" и "натаскивать". Но современным требованиям обучения математики, данные требования не отвечали ни коим образом. На современном уроке функция учителя изменилась, смысл ее состоит в организации учебного процесса, когда у ученика снимаются все затруднения во время его учебной деятельности. Сейчас у учителя две роли: роль руководителя и роль помощника. Причем вторая роль - ведущая. Вообщем по этой теме говорить можно долго. Желающие могут посетить наш сайт:http://michailtop.narod.ru/
0 Ответить
А лучше сразу эту страницу, а то пойдут гости по сайту и набредут на очень странное предложение.
"Официальный сайт Муниципального образовательного учреждения "Средняя общеобразовательная школа № 6" г. Черкесска" предлагает следующее: "решение задачи стоит 30 руб, реферат 150 руб, курсовая 300 руб, поиск информации по одной теме - 50 рублей". Видимо тем, на кого и новые методики не действуют...
0 Ответить