Число Пи. Что о нем известно сегодня?

История

Еще в древнеегипетских папирусах были найдены описания математических задач, число Пи в которых было равным 4*(8/9)^2. Нетрудно посчитать, что эта формула дает величину 3.16 (что, кстати, вполне достаточно для «бытовых» задач).

Известный ученый Архимед нашел еще более точное значение 3 1/7, что дает величину 3.1428. В Вавилоне было известно значение 25/8, что дает величину 3.125. Кстати, считается, что именно Архимед предложил первый математический метод вычисления числа Пи, с помощью расчета вписанных в круг многоугольников. Это позволяло вычислять значение не «напрямую», с циркулем и линейкой, а математически, что обеспечивало гораздо большую точность.

И наконец в 3-м веке нашей эры китайский математик Лю Хуэй придумал первый итерационный алгоритм — алгоритм, в котором число вычисляется не одной формулой, а последовательностью шагов (итераций), где каждая последующая итерация увеличивает точность.

Суть итерационной формулы Лю Хуэя следующая (sqrt — операция квадратного корня):

Pi-0 = 6*sqrt (2 — sqrt (2 + 1)) = 3.106
Pi-1 = 12*sqrt (2 — sqrt (2 + sqrt (2+1))) = 3.133
Pi-2 = 24*sqrt (2 — sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2+1)))) = 3.139
Pi-3 = 48*sqrt (2 — sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2+1))))) = 3.141

Как можно видеть, значение предыдущего шага используется в следующем, что заметно облегчает расчеты (что особо важно, если учесть, что в 3-м веке калькуляторов еще не было). Как показывает расчет на компьютере, уже 10 итераций этого алгоритма достаточно для вычисления Пи с точностью до одной десятимиллионной. Сам Лю Хуэй, разумеется, получил меньше знаков, но был важен сам принцип — итерационные алгоритмы и сейчас являются единственным способом вычисления Пи с любой степенью точности (для примера можно привести открытую в 1674 г формулу Лейбница: PI = 4*(1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — 1/11 + 1/13 … (из которой очевидно, что чем дольше считать, тем больше точность).

Так параллельно с развитием математики росла и точность вычислений. Математик из Ирана Джамшид ибн Мас‘уд ибн Махмуд Гияс ад-Дин ал-Каши в 15-м веке вычислил число Пи с точностью до 16 знаков, а в 17-м веке голландский математик Лудольф вычислил 32 знака числа Пи. Тогда же, кстати, в 1706 году современное обозначение этого числа ввел У. Джонсон.

И наконец в 1766 году математик Ламберт доказал, что число Пи является иррациональным, т. е. не может быть выражено никакой простой дробью. В 19-м веке было доказано, что число также не может быть корнем какого-либо уравнения. Т. е., по сути, число Пи является бесконечным, у него нет конца, его можно лишь вычислить с нужной степенью точности.

Есть ли у этого числа какая-то внутренняя структура, неизвестная закономерность? Узнать это хотели многие. Известно, что в 19-м веке англичанин Вильям Шенкс, потратив 20 лет, вычислил Пи до 707 знака, однако он так и не узнал, что в 520-м знаке допустил ошибку и все последние годы вычислений оказались напрасны (в итерационных алгоритмах хоть одна ошибка делает все дальнейшие шаги бесполезными).

Современность

Разумеется, с появлением компьютеров изучение числа Пи пошло на порядки быстрее.

В 1949 году на компьютере ЭНИАК было вычислено 2000 знаков числа, на что ушло 70 часов (для сравнения, современный iPhone вычисляет 100000 знаков Пи за 10 минут). Рубеж в миллион знаков был преодолен в 1973 году. Существуют различные методы, например, алгоритм Рамануджана, алгоритм Брента-Саламина, формула Плаффа и многие другие. На сегодняшний день число Пи вычислено с точностью 10 триллионов цифр после запятой.

Для чего это делается? Во-первых, это просто интересно (и отчасти похоже на спорт), во-вторых, вероятно, ученые не оставляют надежды найти какие-то новые закономерности.

Например, посмотрим на первую тысячу знаков числа Пи (удивительно, но на получение этого короткого набора строк у человечества ушло 3000 лет):

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406
28620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940
81284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461
28475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249
14127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053
05488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931
05118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656
64308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846
76694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249
53430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629
77477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534
69083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206
17177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532
1712268066130019278766111959092164201989

Последовательность цифр похожа на случайную, однако могут ли в ней быть повторяющиеся цифры? Оказывается, да, на 762 знаке находится так называемая «точка Фейнмана», состоящая из чисел 999999. Внимательным читателям предлагается найти это место самостоятельно. Кстати, архив числа Пи желающие могут найти и скачать самостоятельно, весьма интересно поискать в этом тексте какие-то числа. Так например, в 4000000 знаков Пи можно найти все 6-значные последовательности «111111», «222222»,. «999999». На примерно 40-миллионом знаке можно найти дату начала 2-й мировой войны (22061941), а на 70-миллионном — дату ее окончания (09081945). Есть также годы существования СССР (19171991). Можно поискать и свой день рождения (наверно, есть и день смерти, но заранее мы это не узнаем).

Есть даже шутка о том, что в числе Пи сохранены все знания мира, их надо только уметь найти.

Заключение

Удивительное рядом. Можно точно сказать, что история изучения числа Пи еще не закончена и, исходя из природы этого числа, не будет закончена никогда. Желающие могут изучить этот вопрос самостоятельно.

Кстати, если сопоставить каждой цифре 0.9 ноту, то число Пи можно представить и в виде набора звуков. Некоторые музыканты делали мелодии и аранжировки на эту тему, желающие могут поискать их в youtube. Обладатели хорошей памяти тренируются в запоминании числа Пи, известны люди, помнящие несколько тысяч знаков.

Вообще, математика — это весьма интересная наука. Не менее увлекательными, чем число Пи, являются и простые числа.