Максим Левин Мастер

Георг Кантор: математическая бесконечность или путь в новый мир?

С самых ранних лет существования цивилизации человечество задумывалось о понятиях конечного и бесконечного. Эта тема находила живой отклик в трудах ученых, писателей и философов разных эпох от античности до нашего скоростного ХХI века.

Фото: Depositphotos

Мы со школьной скамьи помним поэму философа и поэта Лукреция Карра «О природе вещей», в которой он утверждал, что Вселенная бесконечна. Его воззрения были близки многим, в том числе и автору этих строк. Однако сегодня мы знаем — взгляды Лукреция были ошибочны. Вселенная конечна, но не имеет предела.

Но с времен античности до 1870 года в науке о бесконечности господствовала доктрина Аристотеля, и только математик русско-немецкого происхождения Георг Кантор бросил вызов учению Аристотеля, полностью разрушив его фундамент и основав новую математику бесконечности.

  • Аристотель в своих трудах подразумевал лишь потенциальную бесконечность. То есть: есть своего рода бесконечность списка, который конечен на каждый момент времени, но может расти бесконечно.
  • А вот актуальная бесконечность Кантора — это все числа без исключения в одном списке, но этому списку нет конца, и нашему разуму не под силу представить его полностью.

Аристотель считал понятие актуальной бесконечности ересью. Когда Кантор познакомил со своими первыми работами немецкого ученого Вейерштрассе, тот посоветовал не публиковать их. Идеи Кантора были отвергнуты современниками и стали причиной его душевных страданий, а затем привели его к преждевременной смерти.

Георг Кантор в 1894 г.
Георг Кантор в 1894 г.
Фото: ru.wikipedia.org

Например, немецкий известный математик Кронекер называл Кантора «шарлатаном», «отступником», «развратителем молодежи»… Кантор впал в сильную депрессию.

В статье вспомним немного математики, чтобы лучше понять суть актуальной бесконечности. Нам всем известно из курса математики о существовании натуральных чисел: 1, 2, 3… Множество натуральных чисел и множество отрицательных чисел образуют множество целых чисел. А множество рациональных чисел (которое включает в себя множество целых чисел) и иррациональных чисел (Корень из двух) образуют множество вещественных чисел.

По Кантору, все эти множества эквивалентны актуальной бесконечности, т. е. не имеют конца и края.

Открытие трансцендентных чисел, чисел с бесконечным числом цифр после запятой (число пи=3,14159…), нанесло окончательное поражение учению Аристотеля и способствовало развитию теории об актуальной бесконечности.

Кантор ввел понятие ординальных чисел, т. е. чисел за пределами бесконечности, или трансфинитных чисел w+1, w+2, w+3… А после этого ряда w+w+1, w+w+2… и так далее.

Исследования в области бесконечности породили ряд математических парадоксов.

Парадокс английского логика Бертрана Рассела привел к кризису в математической науке на 30 лет. Он заключается в вопросе: «Является ли это множество, о котором я говорю, частью самого себя? Существует ли недоступное множество?»

На этот вопрос нет ответа и сегодня. Чтобы лучше разобраться в вопросах бесконечности, отсылаю читателей к специальной литературе.

Биографическая справка. Георг Кантор родился в Санкт-Петербурге 3 марта 1845 года. В 1856 году вместе с семьей переехал в Германию, а в 1867 году получил докторскую степень в Берлинском университете. В 1874 году выходит его первая работа, в которой впервые появляются идеи о бесконечности. Г. Кантор умер в психиатрической лечебнице в Галле в 1918 году.

Существует знаменитое высказывание Георга Кантора о математике: «Сущность математики — в ее свободе».

Стоит отметить немаловажную деталь, что ученый всегда с ностальгией вспоминал детство, проведенное в Санкт-Петербурге. Хотя всю оставшуюся жизнь Кантор прожил в Германии, он никогда не чувствовал себя там как дома.

Что еще почитать по теме?

Пьер Ферма: математика — просто досуг или дело всей жизни?
Леонард Эйлер. Кому принадлежит научное достояние «короля математиков» — Западу или России?
Почему математика Николая Николаевича Константинова называют легендарным?

Обновлено 27.11.2017
Статья размещена на сайте 21.11.2017

Комментарии (2):

Чтобы оставить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Войти через социальные сети:

  • Владимир Мартынов Читатель 6 декабря 2017 в 03:56 отредактирован 22 мая 2018 в 04:57

    ЗА КОРРЕКТНУЮ ПОСТАНОВКУ ЗАДАЧИ, ЗА КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ
    Поиск решения начинается с анализа постановки задачи. Великая теорема Ферма – это пример некорректной постановки задачи, Филькина Грамота Юриста, т.к. в общем виде теорема не доказуема, не имеет решения (общего, универсального способа решения нет). Надо решать для конкретного показателя степени « N » . Корректно поставленная задача имеет решение, т.е. надо решать уравнение, например, X113 + Y113 = Z113 при N = 113 или X7 + Y7 = Z7 при N = 7 и т.д. (особенно, для показателей степеней – простых чисел).
    Пьер де Ферма, решая в 1630 году диофантовы уравнения, сформулировал ПОСТУЛАТ: Только для уравнения X2 + Y2 = Z2 при N = 2 возможно найти такие положительные целые числа X, Y, Z и X # Y, X # Z, Y # Z, что X2 + Y2 = Z2. Пифагоровы числа 32 + 42 = 52, 122 + 52 = 132 … - это конкретный случай при N = 2.
    Великая теорема Ферма – это великий блеф ради развития алгебры (Западня Ферма). Путь к Истине – путь бесконечных открытий, где на фиксированный вопрос должен быть фиксированный ответ. Дорогу осилит идущий (рудокоп, старатель). Свет идущим. Математика - это средство ото лжи, от самообмана. Верна или не верна Великая Теорема юриста Ферма? (советская студия ЦентрНаучФильм в 1972 году создала научно-популярное кино на эту тему). Роль черта играл актер Кайдановский (его первая роль в кино). Юристы везде могут намутить.

    • Владимир Мартынов, благодарю за отличный комментарий.Великая теорема на самом деле не имеет решений.Эндрю уайлс по-моему доказал это методом эллиптических кривых(в точности сказать не могу-могу ошибиться) в 90-е.Теорема не имеет корней и доказывается геометрически по-моемому.Но доказательство пришло лищь в конце хх-го века!